Learning : Fungsi Produksi (Production Function)

Pada umumnya prinsip utama kegiatan suatu perusahaan adalah mengubah barang mentah (input) menjadi barang jadi (output). Para ekonom tertarik pada proses bagaimana perusahaan membuat pilihan untuk mencapai tujuannya, ini menjadi diskusi dan kemudian dibuatlah model abstrak produksi. Dalam model hubungan antara input dan output diformalkan dari bentuk fungsi sebagai berikut :

Dalam fungsi tersebut, dimana q mewakili output perusahaan dari barang tertentu selama satu periode, k mewakili penggunaan mesin (capital/modal) selama periode tersebut, l (labor) mewakili jam input tenaga kerja, dan m (materials) mewakili bahan baku yang digunakan.

 A.  Produktivitas Marginal

Bagian ini untuk melihat perubahan output yang disebabkan oleh perubahan salah satu input produksi. Analisis yang digunakan dengan menggunakan contoh dua input proses produksi, sebagai contoh modal dan tenaga kerja.

1.     Produk Fisik Marginal (Marginal Physical Product)

Untuk belajar variasi satu input, produk fisik marginal di definisikan sebagai berikut :

Produk fisik marginal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat di produksi dengan menggunakan satu unit lagi dari input itu sambal menahan semua input lainnya/konstan. Secara matematis produk fisik marginal dari modal sebagai berikut :

 
Produk fisik marginal dari tenaga kerja :

Definisi matematis dari produk marginal menggunakan turunan parsial, dengan demikian mencerminkan dengan benar fakta bahwa semua penggunaan input lainnya dipertahankan konstan sementara masukan yang menarik sedang bervariasi. Sebagai contoh, seorang petani mempekerjakan satu pekerja lagi untuk memanen tanaman tetapi menahan semua input lainnya konstan. Output ekstra pekerja yang dihasilkan adalah produk fisik marginal buru tani, diukur dalam kuantitas fisik, seperti gandum, kelapa, dll. Misalnya sebanyak 50 pekerja di sebuah pertanian mampu menghasilkan 100 gandum pertahun, sedangkan 51 pekerja, dengan lahan dan peralatan yang sama, dapat menghasilkan 102 gandum. Produk fisik marginal pekerja ke 51 adalah 2 gandum per tahun.

 

2.     Mengurangi Produktivitas Marginal (Diminishing Marginal Productivity)

Pada produk fisik marginal dari suatu input tergantung pada seberapa banyak masukan itu digunakan. Contohnya tenaga kerja tidak dapat ditambahkan tanpa batas bidang tertentu (sementara jumlah peralatan, pupuk dan sebagainya tetap) tanpa akhirnya menunjukan penurunan produktivitasnya. Secara matematis, asumsi semakin berkurang pada produk fisik marginal tentang bagaimana dua turunan fungsi memiliki batas.

Asumsi penurunan produktivitas marginal diusulkan oleh ekonom abad kesembilan belas Thomas Malthus, yang khawatir bahwa peningkatan populasi yang cepat akan menghasilkan produktivitas tenaga kerja yang lebih rendah. Prediksi suramnya untuk masa depan kemanusiaan pada bidang ekonomi disebut dengan “dismal science”. Tetapi secara matematis dari fungsi produksi menunjukan bahwa kesuraman tersebut mungkin salah tempat. Perubahan produktivitas marginal tenaga kerja dari waktu ke waktu tidak hanya bergantung pada bagaimana input tenaga kerja tumbuh, tetapi juga pada perubahan input lain seperti modal. Artinya dalam asumsi juga harus memperhatikan

Pada kasus f lk>0, penurunan produktivitas tenaga kerja sebagai l dan k peningkatan bukanlah kesimpulan sebelumnya, Memang tampaknya produktivitas tenaga kerja telah meningkat signifikan sejak waktu Malthus, terutama karena peningkatan input modal (bersama dengan perbaikan teknis) telah mengimbangi dampak penurunan produktivitas marginal saja.

 

3.     Produksi Fisik Rata-Rata (Average Physical Productivity)

Dalam penggunaan umum, istilah produktivitas tenaga kerja sering berarti produktivitas rata-rata. Suatu industri dikatakan mengalami peningkatan produktivitas, berarti output per unit tenaga kerja telah meningkat. Meskipun konsep produktivitas usia rata-rata tidak sepenting dalam diskusi ekonomi teoritis seperti produktivitas marginal, produktivitas menerima banyak perhatian dalam diskusi empiris. Produktivitas rata-rata mudah diukur (misalnya jumalh produksi gandum per tenaga kerja) digunakan untuk melihat efisiensi. Secara matematis rata-rata produk tenaga kerja sebagai berikut :

Perhatikan bahwa AP_l tergantung pada tingkat modal yang digunakan. Pengamatan ini akan membuktikan menjadi penting ketika memeriksa pengukuran teknis.

 

B.  Isoquant dan Rate of Technical Substitution

Untuk mengilustrasikna kemungkinan substitusi satu input dengan input lain dalam fungsi produksi digunakan peta isoquant. Mempelajari fungsi produksi dari fungsi q=f(k,l), dengan memahami variabel modal dan tenaga kerja sebagai contoh dua input yang menarik. Sebagai contoh kombinasi k dan l pada gambar berikut q=10 mampu memproduksi 10 unit per waktu tertentu.

Isoquant mencatat kombinasi alternatif input yang dapat digunakan untuk menghasilkan tingkat output tertentu. Kemiringan kurva ini menunjukan tingkat di mana l  dapat diganti untuk k dengan asumsi output konstan. Slope negative ini disebut (marginal) rate of technical substitution (RTS). Dalam gambar, RTS positif dan berkurang untuk meningkatkan input tenaga kerja. 

1.     The Marginal Rate of Technical Substitution (RTS)

Kemiringan isokuan menunjukan bagaimana satu input dapat ditukar dengan yang lain dengan asumsi output yang konstan. Memeriksa kemiringan memberikan informasi tentang kemungkinan teknis menggantikan tenaga kerja dengan modal.

Tingkat substitusi teknis marginal (Marginal Rate of Technical Substitution/RTS) menunjukan tingkat dimana setelah menambahkan satu unit kerja, modal dapat dikurangi sambal menahan output konstan sepanjang isokuan. Secara matematis sebagai berikut :

Dalam definisi ini, notasi dimaksudkan sebagai pengingat bahwa output harus dijaga konstan karena l diganti dengan k. Nilai khusus dari tingkat pertukaran ini tidak hanya bergantung pada tingkat output tetapi juga pada jumlah modal dan tenaga kerja yang digunakan. Nilainya tergantung pada titik pada peta isokuan dimana kemiringan akan diukur.

 

2.     RTS dan Marginal Productivities

Untuk memeriksa bentuk isokuan dari fungsi produksi, dengan membuktikan hasil : RTS (dari l untuk k) itu sama dengan rasio produktivitas fisik marginal tenaga kerja (MP_l) dengan produktivitas fisik marginal modal (MP_k). Untuk membuat grafik isoquant q₀, dengan mengganti urutan peningkatan nilai l dan melihat bagaimana k harus menyesuaikan agar output tetap konstan pada q₀. Grafik isoquant adalah grafik fungsi implisit k(l).

3.     Reason for a Diminishing RTS

Gambar kurva isoquant tidak hanya dengan kemiringan negative tetapi juga sebagai kurva cembung. Sepanjang garis salah satu kurva, RTS berkurang. Pada rasio dari k menuju l, RTS merupakan angka positif, menunjukan bahwa banyak modal yang dapat berkurang jika satu unit tenaga kerja tersedia. Disisi lain, ketika banyak tenaga kerja yang digunakan, RTS rendah, artinya hanya sedikit modal yang ditambahkan jika menambah unit tenaga kerja, jika output dipertahankan tetap.

Asumsi ini memiliki beberapa hubungan dengan asumsi marginal yang semakin berkurang produktifitas.

 

4.     Pentingnya Efek Produktivitas Lintas (Importance of Cross-Productivity Effects)

Secara intuitif, sepertinya memungkinkan bahwa turunan lintas parsial f_kl = f_lk  adalah positif. Jika pekerja memiliki lebih banyak modal, mereka akan memiliki produktivitas marginal yang lebih tinggi. Meskipun ini merupakan kasus yang umum, namun tidak seharusnya sama seperti itu. Fungsi produksi memiliki f_kl < 0, setidaknya untuk rentang nilai input. Ketika kita mengasumsikan RTS berkurang, kita membuat asumsi yang kuat penurunan produksi marginal pada input, secara spesifik diasumsikan produktivitas marginal berkurang cukup cepat, untuk mengimbangi kemungkinan efek negative lintas sektor produktivitas. Tentu saja nanti kita akan melihat dengan tiga atau lebih input, menjadi lebih rumit lagi.

 

C.  Skala Pengembalian (Return to Scale)

Pada bahasan ini untuk melihat karakteristik fungsi produksi. Pertanyaan pertama yaitu tentang bagaimana output merespon peningkatan input secara bersama-sama. Sebagai contoh, semua input digandakan apakah berdampak pada output yang ganda atau hubungan keduanya tidak sesederhana itu?. Ini merupakan pertanyaan tentang skala pengembalian (return to scale) yang ditunjukan oleh fungsi produksi telah menarik minat para ekonom sejak Adam Smith mempelajarinya secara intensif. Smith mengidentifikasi ketika dua kekuatan yang mulai beroperasi ketika percobaan konseptual menggandakan semua input dilakukan. Pertama, penggandaan skala memungkinkan pembagian kerja dan spesialisasi fungsi yang lebih besar. Oleh karena itu ada beberapa anggapan bahwa efisiensi mungkin meningkat, produksi mungkin lebih dari dua kali lipat. Kedua, penggandaan input juga menyebabkan hilangnya efisiensi karena pengawasan manajerial mungkin menjadi lebih sulit mengingat skala perusahaan yang lebih besar. Dari kedua identifikasi tersebut, mana yang lebih memiliki dampak empiris. Konsep tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut :

 Skala pengembalian (return to scale) jika fungsi produksi q = f(k,l) dan jika input dikalikan dengan konstanta positif yang sama t (dimana t > 1), maka kita mengklasifikasikan skala hasil dari fungsi produksi dengan :

 

Efek pada Output	Skala Pengembalian (Return to Scale)
f (tk,tl) = tf (k,l) = tq	Constant
f (tk,tl) < tf (k,l) = tq	Decreasing
f (tk,tl) > tf (k,l) = tq	Increasing

Dalam istilah intuitif, jika peningkatan input yang proporsional meningkatkan output dengan proporsi yang sama, fungsi produksi menunjukan skala hasil konstan. Jika output meningkat kurang dari secara professional fungsi tersebut menunjukan hasil yang semakin berkurang. Kemudian jika output meningkat lebih dari proporsional, ada peningkatan skala hasil. Seperti yang dilihat secara teoritis mungkin bagi suatu fungsi menunjukan skala hasil konstan untuk beberapa tingkat penggunaan input dan meningkatkan atau menurunkan pengembalian untuk level lainnya. Namun seringkali para ekonom merujuk kembali pada skala fungsi produksi dengan pemahaman implisit bahwa hanya cukup kisaran sempit variasi input digunakan dan tingkat output terkait sedang dipertimbangkan.

 

1.     Constan Return to Scale

Terdapat alasan secara ekonomi mengapa fungsi produksi pada perusahaan mungkin menunjukan konstan kembali ke skala. Jika perusahaan mengoperasikan banyak pabrik, produksi dapat bertambah atau berkurang hanya dengan memvariasikan jumlah mereka dalam operasi saat ini. Artinya, perusahaan dapat menggandakan output dengan menggandakan jumlah pabrik yang dioperasikannya, dan itu akan membutuhkannya untuk mempekerjakan dua kali lebih banyak input.

Studi empiris fungsi produksi sering menemukan bahwa skala pengembalian konstan (setidaknya sekitar untuk output mendekati tingkat operasi yang mungkin ditetapkan perusahaan mungkin menunjukan peningkatan kembali ke skala saat mereka berkembang ke ukuran yang di tetapkan). Untuk semua alasan ini, konstanta kasus pengembalian ke skala tampaknya layak diperiksa secara lebih rinci.

 

2.     Fungsi Produksi Homotetik (Homothetic Production Function)

Karena fungsi produksi skala hasil konstan adalah homotetik, RTS hanya bergantung pada rasio k ke l, bukan pada skala produksi. Akibatnya, sepanjang kurva RTS (konstan k/l) akan sama pada semua isoquant. Fitur tambahan adalah bahwa label isoquant meningkat secara proporsional dengan input.

 3.     The n-input case

Bagian penting dari definisi matematis ini adalah persyaratan bahwa semua input harus meningkat dengan proporsi yang sama. Dalam banyak proses produksi di dunia nyata, ketentuan ini mungkin tidak masuk akal secara ekonomi. Misalnya, sebuah perusahaan mungkin hanya memiliki satu pimpinan dan itu jumlahnya tidak perlu digandakan meskipun nilai inputnya atau output berubah. Beberapa input mungkin harus diperbaiki untuk tujuan tertentu. Dalam kasus seperti itu, beberapa tingkat produktivitas berkurang (akibatnya peningkatan pekerjaan input variabel) tampaknya mungkin, meskipun ini tidak dapat disebut skala pengembalian yang berkurang, karena adanya input yang dianggap tetap.

D.  Substitusi Elastis

Karakteristik penting lainnya dari fungsi produksi adalah mudah melakukan substitusi satu masukan untuk masukan lainnya. Sepanjang satu isoquant, tingkat substitusi teknis akan menurun saat rasio modal tenaga kerja menurun (yaitu saat k/l menurun). Beberapa parameter yang mengukur tingkat respon ini. Jika RTS tidak berubah pada semua perubahan k/l, kita dapat mengatakan bahwa substitusi itu mudah karena rasio produktivitas marginal dari dua input tidak berubah ketika campuran input berubah. Alternatifnya, jika RTS berubah dengan cepat untuk perubahan kecil dalam k/l, kita akan mengatakan bahwa substitusi sulit karena variasi kecil dalam campuran input akan memiliki efek substansial pada produktivitas relative input.

 

E.  Empat Fungsi Produksi

1.     Kasus 1 : Linear (σ = ∞)

Fungsi produksi yang diberikan sebagai berikut :

Sangat mudah untuk menunjukan bahwa fungsi produksi ini menunjukan skala hasil konstan untuk setiap t > 1.

Semua isoquant untuk fungsi produksi ini adalah garis lurus paralel dengan kemiringan

Pada kurva isoquant, karena RTS konstan sepanjang isoquant garis lurus, penyebut dalam definisi sama dengan 0 dan maka tidak terbatas. Meskipun fungsi produksi linier ini adalah contoh yang berguna, itu jarang ditemui dalam praktek karena beberapa proses produksi ditandai dengan kemudahan tersebut dari substitusi.

Memang dalam hal ini, modal dan tenaga kerja dapat dianggap sebagai pengganti yang sempurna satu sama lain. Industri yang dicirikan oleh fungsi produksi seperti itu dapat menggunakan hanya modal atau hanya tenaga kerja, tergantung pada harga input. Sulit membayangkan proses produksi apabila : setiap mesin membutuhkan seseorang untuk menekan tombolnya, dan setiap pekerja membutuhkan beberapa peralatan modal, betapapun sederhananya.

 

2.     Kasus 2 : Proporsi tetap (σ = 0)

Tiga kemungkinan nilai elastisitas substitusi diilustrasikan dalam gambar berikut. Dalam (a) modal dan tenaga kerja adalah pengganti yang sempurna. Dalam hal ini, RTS tidak akan berubah karena rasio modal-tenaga kerja berubah. Didalam (b) kasus proporsi tetap tidak ada substitusi yang mungkin. Rasio modal-tenaga kerja ditetapkan pada β/ɑ.  Sebuah kasus ilustrasi substitusi pada gambar (c).

3.     Kasus 3 : Cobb-Douglas (σ = 1)

Fungsi produksi dimana σ=1, dinamakan fungsi produksi Cobb-Douglas. Memberikan jalan tengan antara dua kasus kutub yang dibahas sebelumnya. Isoquant untuk kasus Cobb-Douglas memiliki bentuk cembung “normal” ditunjukan pada gambar diatas bagian (c). Bentuk matematis fungsi Cobb-Douglas yaitu :

Dimana A,ɑ, dan β semuanya adalah konstanta positif.

Fungsi Cobb-Douglas dapat menunjukan tingkat pengembalian skala apapun, tergantung pada nilai ɑ dan β. Misalnya semua input di tingkatkan dengan faktor t maka:

Oleh karena itu jika ɑ+β=1, fungsi Cobb-Douglas menunjukan skala hasil konstan karena output juga meningkat dengan faktor t. Jika ɑ+β>1, menunjukan peningkatan kembali ke skala. Apabila ɑ+β<1 merupakan kasus penurunan pada skala.

Ini adalah masalah sederhana untuk menunjukan bahwa elastisitas substitusi adalah 1 untuk fungsi Cobb-Douglas. Fakta ini mengarahkan para peneliti untuk menggunakan skala pengembalian konstan (constant return to scale) sebagai gambaran umum hubungan produksi agregat di banyak negara. Fungsi Cobb-Douglas terbukti berguna dalam banyak aplikasi karena memiliki logaritma linear.

Konstanta ɑ adalah elastisitas output terhadap input modal dan β adalah elastisitas output terhadap input tenaga kerja. Konstanta dapat diestimasikan dengan data actual dan estimasi bisa digunakan mengukur skala pengembalian/ return to scale (dengan memeriksa jumlah ɑ+β) dan tujuan perhitungan.

 4.     Kasus 4 : Fungsi Produksi Constant Elasticity of Substitution/CES

Bentuk fungsi yang menggabungkan ketiga kasus sebelumnya dan memungkinkan σ untuk mengambil nilai lain, adalah fungsi produksi elastisitas konstan substitusi/constant elasticity of substitution (CES) pertama kali diperkenalkan oleh Arror dengan fungsi yang diberikan :

Untuk p≤1, p≠0, dan γ>0. Fungsi ini sangat mirip dengan fungsi utilitas, meskipun telah ditambahkan eksponen γ /p untuk eksplisit penjelasan dari faktor pengembalian pada skala (return to scale). Untuk γ>1 fungsi peningkatan kembali pada skala, dimana untuk γ<1 menunjukan hasil menurun.

 

F.  Technical Progress

Metode produksi meningkat dari waktu ke waktu, dan penting untuk dapat menangkapnya perbaikan dengan konsep fungsi produksi.

Kemajuan teknis menggeser kurva isoquant q₀ ditandai dengan IQ’ menuju ke titik asal. Garis baru isoquant q₀ merupakan IQ’’ menunjukan bahwa tingkat level output sekarang dapat di produksi dengan input yang lebih sedikit. Misalnya dengan k₁ pada modal sekarang membutuhkan l₁ unit tenaga kerja untuk memproduksi q₀, sedangkan sebelum secara teknis dibutuhkan unit tenaga kerja (l₂).